Los polígonos.

Definición: La figura en un plano, formada por la unión de n segmentos
(con n > 2) que tengan un vértice en común, tal que ningún par de segmentos se intersequen y ningún par de segmentos con un extremo común pertenezcan a la misma recta, es un polígono.
La figura formada por un polígono es convexa.


Generalidades sobre los polígonos


Los segmentos que forman el polígono son sus lados. Los extremos comunes de los lados, son sus vértices. En cada vértice, el ángulo que forman los rayos a los cuales pertenecen los lados del polígono es un ángulo interior. Al ángulo adyacente a cada ángulo interior es un ángulo exterior.
Los vértices que no pertenecen a un mismo lado del polígono son vértices opuestos. El segmento que une dos vértices opuestos es una diagonal del polígono. Se puede demostrar que si el polígono tiene n lados, entonces el número d de diagonales que tiene el polígono es:
Si el polígono de n lados es regular la medida m de cada ángulo interno es:


Si se construye un polígono, el plano que lo contiene se divide en tres conjuntos de puntos: los puntos del polígono propiamente tal; los puntos que están en el interior del polígono, que son sus puntos interiores ; los puntos exteriores al polígono, que son los puntos que no pertenecen ni al polígono ni a su interior.

Definición: La figura geométrica formada por la unión de los puntos del polígono y de su interior es la región poligonal o superficie del polígono.

Definición: El número real que corresponde a la medida de la superficie, es el área del polígono.

Definición: La suma de las medidas de los lados es el perímetro del polígono.

Definición: Si un polígono tiene todos sus lados congruentes es un polígono equilátero.

Definición: Si un polígono tiene todos sus ángulos interiores congruentes es un polígono equiángulo.

Definición: Si un polígono es a la vez equilátero y equiángulo es un polígono regular. En caso contrario es polígono irregular.

Se clasifican los polígonos según el número de lados:
Triángulo: polígono de 3 lados.
Cuadrilátero: polígono de cuatro lados.
Pentágono: polígono de 5 lados.
Hexágono: polígono de seis lados.
Heptágono: polígono de siete lados.
Octógono u octágono: polígono de 8 lados.
Eneágono o nonágono: polígono de 9 lados.
Decágono: polígono de 10 lados.
Dodecágono: polígono de 12 lados.
Pentadecágono: polígono de 15 lados.
Icoságono: polígono de 20 lados.

Triángulos


Un triángulo es un polígono de tres lados.

Tipos de triángulos según sus lados
Triángulo Isósceles: Es aquél tríangulo que tiene dos lados congruentes (de igual medida).
Tríangulo Equilatero: Es aquél triángulo que tiene todos sus lados congruentes.
Triángulo Escaleno: Es aquél triángulo que tiene todos susu lados de distinta medida.

Tipos de Triángulos según sus ángulos
Triángulo Acutángulo: Es aquél triangulo en el cual sus tres ángulos son agudos.
Triángulo Obtusángulo: Es aquél triángulo que tiene un ángulo obtuso.
Triángulo Rectángulo: Es aquél Triángulo que tiene un ángulo recto.
Elementos singulares o característicos de los triángulos

Elementos singulares o característicos de los triángulos
Además de los elementos que tiene el triángulo, como cualquier polígono, se definen los siguientes elementos que son propios de los triángulos.
Altura del Triángulo: Es el segmento construido desde uno de los vértices de un triángulo y perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto.
Mediana o Transversal media del Triángulo: Es el segmento que tiene como extremos un vértice de un triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Bisectríz del ángulo interior del Triángulo: Es el segmento que tiene como extremos un vértice de un triángulo y el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interior del triángulo en dicho vértice, con el lado opuesto.

Definición: La recta perpendicular a un segmento en su punto medio, es la mediatriz del segmento.

Mediatriz del Triángulo: Es una mediatriz correspondiente a un lado de un triángulo.

Segmento medio del Triángulo:Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados de un triángulo.

Relaciones angulares en el triángulo
“La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo es 180º”.

“La medida de cada ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él”.

“La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º”

Relación de congruencia en los polígonos
El término congruente o congruencia proviene del latín, que significa concordar o coincidir.
Definición: Si dos polígonos tienen sus lados y ángulos respectivamente congruentes, entonces son polígonos congruentes. Las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño.
La figura corresponde a la representación de tres triángulos congruentes.



Axiomas de la congruencia en los Triángulos

Lado ángulo lado (LAL):Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, entonces los triángulos son congruentes.


Ángulo lado ángulo (ALA):Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, entonces los triángulos son congruentes.


Lado lado lado (LLL): Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres lados, entonces los triángulos son congruentes.


Lado lado ángulo (LLA): Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo opuesto al lado de mayor medida de ellos, entonces los triángulos
son congruentes.


Corolario de la congruencia de triángulos: En triángulos congruentes, los elementos homólogos son congruentes.
Se puede también enunciar de esta manera: En triángulos congruentes, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y a ángulos congruentes, se oponen lados congruentes”.

Los Cuadrilateros
Los cuadriláteros

El polígono de cuatro lados, es un cuadrilátero.
Los cuadriláteros se distinguen según la cantidad de pares de lados paralelos que tienen. Si tienen dos pares de lados paralelos, son paralelogramos. Si tienen un solo par de lados paralelos, son trapecios. Si no tienen pares de lados paralelos, son trapezoides.
Paralelogramos: Existen 4 tipos de paralelogramos, estos son
Cuadrado: Es elparalelogramo que tiene sus 4 lados congruentes y sus ángulos rectos.

Rectángulo: Es el paralelogramo cuyos ángulos son rectos.

Rombo: Es el paralelogramo cuyos lados son congruentes.

Romboide: Es el paralelogramo cuyos ángulos no son rectos y sus lados contiguos distintos.


Propiedades de los paralelogramos
“En todos los paralelogramos, una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes”.
“En todo paralelogramo los lados opuestos son congruentes”.
“En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes”.
“En todo paralelogramo las diagonales se dimidian”.

Propiedades de los trapecios

Un cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos es un trapecio.
Los lados paralelos son las bases y el segmento perpendicular entre ellas es la altura. El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos, es la mediana del trapecio.
Si los lados no paralelos son congruentes, es trapecio isósceles, en caso contrario es trapecio escaleno. Si uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases, es trapecio rectángulo.